Naći krug koji prolazi kroz datu tačku i dodiruje dva kruga

Neka su data dva kruga $O_1$ i $O_2$ i tačka A. Treba kroz tačku A povući krug koji dodiruje ta dva kruga (sl. 22).

1. Analiza: Pretpostavimo da je zadatak rešen i neka traženi krug O prolazi kroz tačku A i dodiruje krugove $O_1$ i $O_2$ u tačkama $P_1$ i $P_2$.
   
   Konstruišimo pravu $O_1O_2$ kroz centre datih krugova i spoljašnju tangentu $N_1N_2$ sa tačkama dodira $N_1$ i $N_2$.Presečna tačka S prave $O_1O_2$ i tangente $N_1N_2$ je centar sličnosti datih krugova.
   Tri tačke $N_1$, $N_2$ i A određuju krug koji prolazi kroz te tri tačke. Neka prava SA seče taj krug u tački B. Pošto su nam poznate četiri tačke toga kruga: A, B, $N_1$, $N_2$, imamo sledeću jednakost:
   

   $$SB\cdot SA = SN_1\cdot SN_2$$ (2)

   
   
   Ova jednakost daje mogućnost određivanja položaja tačke B. Dalje važi:
   

   $$SP_1\cdot SP_2 = SN_1\cdot SN_2$$ (3)

   
   
   jer za traženi krug O imamo:
   
   $$SP_1\cdot SP_2 = SB\cdot SA$$
   
   
   U jednakosti (1) nepoznat je samo član SB, pa možemo konstruisati tu dužinu prema poznatom postupku za četvrtu proporcionalu. Tako je određena točka B kroz koju treba da prođe traženi krug.
   Na taj način naš zadatak se svodi na konstruisanje kruga koji treba da prođe kroz dve tačke A i B i da dodiruje krug $O_1$. I tada postoji prava $O_1$O koja spaja centar $O_1$ datog kruga sa centrom O traženog kruga. Ta prava određuje tačku $P_1$ dodira krugova. Tačka $P_1$ određuje dalje položaj prave $SP_1$, koja određuje tačku $P_2$ dodira kruga O sa drugim datom krugom $O_2$. Time se rešava dati zadatak⁷.
   Na slici 22a tačka A i traženi krug O se nalazi van oblasti datih krugova $O_1$ i $O_2$.
   Na slici 22b imamo shemu slučaja kada traženi krug, prolazeći kroz datu tačku A, obuhvata date krugove.
2. Konstrukcija: Konstrukciju ovog zadatka možemo podeliti u tri dela:
   1. Konstrukcija tačke B kroz koju treba da prođe traženi krug.
   2. Primena zadatka 3. o konstrukciji kruga koji prolazi kroz dve date tačke i dodiruje jedan od datih krugova.
   3. Proširenje dodira na drugi krug.

3. Dokaz: Elementi dokaza nalaze se u analizi.

4. Diskusija: Diskusija ovog zadatka je vrlo opširna, pa je nećemo navoditi.